指数方程式・不等式 — 底をそろえて解く

底をそろえるとは何か

指数方程式・不等式では、底を同じ数に統一してから指数を比較することが基本の方針です。

たとえば $ 4^x = 8 $ を見たとき、左辺と右辺の底が異なるので、このままでは比較できません。しかし $ 4 = 2^2,\ 8 = 2^3 $ なので、どちらも底 $ 2 $ で書き直すと

$$ 2^{2x} = 2^3 $$

となり、底が同じなので指数を比べることができます。

底をそろえるための変換：$ m = c^{\alpha},\ n = c^{\beta} $ となる共通の底 $ c $ を見つける。よく使う対応：

$ 4 = 2^2,\ 8 = 2^3,\ 16 = 2^4 $
$ 9 = 3^2,\ 27 = 3^3,\ 81 = 3^4 $
$ \frac{1}{2} = 2^{-1},\ \frac{1}{4} = 2^{-2} $

指数方程式

例1

$$ 4^x = 8 $$

$ 4 = 2^2,\ 8 = 2^3 $ なので底を $ 2 $ にそろえます。

$$ 2^{2x} = 2^3 $$

底が同じなので指数を比較します。

$$ 2x = 3 \implies x = \frac{3}{2} $$

例2（置換を使う）

$$ 9^x - 4 \cdot 3^x + 3 = 0 $$

$ 9 = 3^2 $ なので $ 9^x = (3^2)^x = (3^x)^2 $ です。$ t = 3^x $（$ t > 0 $）とおくと

$$ t^2 - 4t + 3 = 0 \implies (t - 1)(t - 3) = 0 $$

$ t = 1 $ または $ t = 3 $。

$ 3^x = 1 = 3^0 $ より $ x = 0 $
$ 3^x = 3 = 3^1 $ より $ x = 1 $

$ t > 0 $ であることを確認 ✓

指数不等式

指数不等式で重要なのは、底の値によって不等号の向きが変わることです。グラフの単調性から理由を確認します。

指数不等式のグラフ（a>1・0<a<1）

$ a > 1 $ のとき（単調増加）：不等号の向きはそのまま

$$ a^{f(x)} > a^{g(x)} \iff f(x) > g(x) $$

$ a > 1 $ では $ x $ が大きいほど $ a^x $ も大きいので、指数の大小とグラフの高さは一致します。

$ 0 < a < 1 $ のとき（単調減少）：不等号の向きが逆になる

$$ a^{f(x)} > a^{g(x)} \iff f(x) < g(x) $$

$ 0 < a < 1 $ では $ x $ が大きいほど $ a^x $ は小さくなるので、グラフが高いほど指数は小さくなります。これが不等号の逆転の理由です。

例1（a > 1）

$$ 2^x > 8 $$

$ 8 = 2^3 $ なので

$$ 2^x > 2^3 $$

$ a = 2 > 1 $ なので単調増加。不等号の向きはそのまま。

$$ x > 3 $$

例2（0 < a < 1）

$$ \left(\frac{1}{2}\right)^x \leq \frac{1}{4} $$

$ \frac{1}{4} = \left(\frac{1}{2}\right)^2 $ なので

$$ \left(\frac{1}{2}\right)^x \leq \left(\frac{1}{2}\right)^2 $$

$ a = \frac{1}{2} < 1 $ なので単調減少。不等号の向きが逆になる。

$$ x \geq 2 $$

まとめ

底の条件	グラフの特徴	不等号の扱い
$ a > 1 $	単調増加	向きはそのまま
$ 0 < a < 1 $	単調減少	向きが逆

指数方程式・不等式を解くときは、①底をそろえる → ②底が $ 1 $ より大きいか小さいかを確認する → ③方程式なら指数を等置、不等式なら向きに注意して指数を比較する、という順番で進めます。

もっと練習したい方へ

この単元の解説PDFを無料で配布しています。指数方程式・不等式の例題を中心に、底をそろえる手順・不等号の向きの判断まで、模範解答と意味説明を2段組で並べた構成で確認できます。

PDFをダウンロードする（無料）

← 前の記事：指数関数の平行移動と対称移動　／　指数関数

底の条件	グラフの特徴	不等号の扱い
\( a > 1 \)	単調増加	向きはそのまま
\( 0 < a < 1 \)	単調減少	向きが逆