接線の方程式

問題

次の各関数について、指定した点での接線の方程式を求めよ。

(1) $ f(x) = x^3 - 3x $ の $ x = 2 $ での接線

(2) $ f(x) = x^2 - 2x $ の $ x = -1 $ での接線

接線の方程式を求めるには、接点の座標と接線の傾きの2つを確定させれば十分です。

この2条件で直線は1本に決まります。公式は次の通りです。

$$ y - f(a) = f'(a)(x - a) $$

次の図で2つの例の接線の位置を確認してください。

f(x)=x³-3x の x=2 での接線（左）と f(x)=x²-2x の x=-1 での接線（右）

左: $ x = 2 $ での急激な増加（傾き9）が接線の角度に反映されています。右: $ x = -1 $ での減少（傾き−4）で接線が右下がりになっています。

導関数の意味: $ f’(a) $ は差商 $ \frac{f(a+h)-f(a)}{h} $ の $ h \to 0 $ の極限です。これは「点 $ (a, f(a)) $ での曲線の傾き」を1つの数値として確定させます。

直線が1本に決まる理由: 平面上の直線は「1点と傾き」の2条件で一意に決まります。接線の場合、接点 $ (a, f(a)) $ が「1点」、$ f’(a) $ が「傾き」を与えます。

公式 $ y - f(a) = f’(a)(x - a) $ は点-傾き形の直線の方程式そのものです。

まず接点の座標と傾きを求めます。

$$ f'(x) = 3x^2 - 3 $$

$ x = 2 $ を代入:

$$ f(2) = 8 - 6 = 2, \quad f'(2) = 12 - 3 = 9 $$

接線の方程式:

$$ y - 2 = 9(x - 2) \implies y = 9x - 16 $$

確認: $ x = 2 $ を代入すると $ y = 18 - 16 = 2 = f(2) $ ✓

$$ f'(x) = 2x - 2 $$

$ x = -1 $ を代入:

$$ f(-1) = 1 + 2 = 3, \quad f'(-1) = -2 - 2 = -4 $$

接線の方程式:

$$ y - 3 = -4(x + 1) \implies y = -4x - 1 $$

傾き $ -4 $ は「$ x = -1 $ での急な減少」を表しています。$ f(x) = x^2 - 2x $ の頂点は $ x = 1 $ なので、$ x = -1 $ は頂点より左の減少域にあり、傾きが負なのは整合的です。

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