曲線外の点からの接線

問題

次の曲線に、指定した点から引ける接線の方程式をすべて求めよ。

(1) 曲線 $ y = x^2 $ に、点 $ (1,\,-1) $ から引く接線

(2) 曲線 $ y = x^3 $ に、点 $ (2,\,0) $ から引く接線

まず何を見るか

曲線外の点 $ P $ から接線を引く問題では、どの点に接するかが未知です。接点 $ (t,\,f(t)) $ を未知数 $ t $ で表し、2つの条件を立てます。

傾きの条件: 接線の傾き $ = f’(t) $
通過条件: 接線は外部点 $ P $ を通る

この2条件から $ t $ の方程式が立ち、解の個数 $ = $ 引ける接線の本数になります。

次の図で、曲線 $ y = x^3 $ から外部点 $ (2, 0) $ への2本の接線を確認してください。

y=x³ から外部点 P(2,0) への2本の接線（左）と手順の概念図（右）

左: 接点が異なる2本の接線（赤と緑）がどちらも点 $ (2, 0) $ を通っています。右: 接点を $ t $ とおいて方程式を立てる手順。

なぜ接点を $ t $ とおくか

「曲線上の点から引く接線」（前の記事）では、接点 $ (a, f(a)) $ は既知でした。しかし「曲線外の点から引く接線」では、接点がどこかは分かりません。

接点を $ (t, f(t)) $ とおいて未知数化すると、「傾きが $ f’(t) $ である」ことと「外部点を通る」ことの2条件が $ t $ の方程式を与えます。この方程式の実数解が、それぞれ接線の接点に対応します。

計算例

(1) $ y = x^2 $、点 $ (1,\,-1) $ からの接線

接点を $ (t,\, t^2) $ とおきます。

$ f’(x) = 2x $ より接線の傾き $ = 2t $。

接線の方程式:

$$ y - t^2 = 2t(x - t) \implies y = 2tx - t^2 $$

点 $ (1,\,-1) $ を代入:

$$ -1 = 2t - t^2 \implies t^2 - 2t - 1 = 0 $$

$$ t = 1 \pm \sqrt{2} $$

接線の方程式（2本）:

$ t = 1 + \sqrt{2} $ のとき: 傾き $ 2(1+\sqrt{2}) $、接線は $ y = 2(1+\sqrt{2})x - (3+2\sqrt{2}) $
$ t = 1 - \sqrt{2} $ のとき: 傾き $ 2(1-\sqrt{2}) $、接線は $ y = 2(1-\sqrt{2})x - (3-2\sqrt{2}) $

(2) $ y = x^3 $、点 $ (2,\,0) $ からの接線

接点を $ (t,\, t^3) $ とおきます。

$ f’(x) = 3x^2 $ より接線の傾き $ = 3t^2 $。

接線の方程式:

$$ y - t^3 = 3t^2(x - t) \implies y = 3t^2 x - 2t^3 $$

点 $ (2,\,0) $ を代入:

$$ 0 = 6t^2 - 2t^3 = 2t^2(3 - t) $$

$$ t = 0 \quad \text{または} \quad t = 3 $$

接線の方程式（2本）:

$ t = 0 $: 接点 $ (0,\,0) $、傾き $ 0 $ → $ y = 0 $（$ x $ 軸）
$ t = 3 $: 接点 $ (3,\,27) $、傾き $ 27 $ → $ y = 27x - 54 $

確認 $ t = 3 $: $ x = 2 $ で $ y = 54 - 54 = 0 $ ✓

まとめ: 手順

手順	内容
1. 接点を $ (t,\,f(t)) $ とおく	未知数化
2. 接線の方程式を $ t $ で表す	$ y = f’(t)\,x - \bigl(tf’(t) - f(t)\bigr) $
3. 外部点を代入	$ t $ の方程式を得る
4. $ t $ を解く	解の個数 $ = $ 接線の本数
5. 各 $ t $ に対応する接線を求める	接点と傾きを確定

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手順	内容
1. 接点を \( (t,\,f(t)) \) とおく	未知数化
2. 接線の方程式を \( t \) で表す	\( y = f’(t)\,x - \bigl(tf’(t) - f(t)\bigr) \)
3. 外部点を代入	\( t \) の方程式を得る
4. \( t \) を解く	解の個数 \( = \) 接線の本数
5. 各 \( t \) に対応する接線を求める	接点と傾きを確定

曲線外の点からの接線

問題

まず何を見るか

なぜ接点を \( t \) とおくか

計算例

(1) \( y = x^2 \)、点 \( (1,\,-1) \) からの接線

(2) \( y = x^3 \)、点 \( (2,\,0) \) からの接線

まとめ: 手順

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