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「導関数の値が接線の傾き」を使えば、曲線上・曲線外どちらの点からでも接線を求められる
曲線 \( y = f(x) \) の点 \( (a,\,f(a)) \) での接線の傾きは \( f’(a) \) です。これは差商
の \( h \to 0 \) の極限として定義されます。この1つの数値が、接点での曲線の「瞬間の傾き」を確定させます。傾きと接点の座標 \( (a,\,f(a)) \) が決まれば、直線は1本に決まります。
曲線外の点から接線を引くときも、「接点を \( (t,\,f(t)) \) として傾き \( = f’(t) \) とおく」という同じ考え方を使います。外部点を通る条件が加わることで \( t \) の方程式が立ち、解が接線の本数を決めます。
\( f’(a) \) が傾きを確定させ、点 \( (a,\,f(a)) \) と合わせて接線が1本に決まる仕組みを計算例で確認します。公式 \( y - f(a) = f’(a)(x-a) \) の各要素の意味を理解します。
接点を未知数 \( t \) とおくと、「傾き \( = f’(t) \)」と「外部点を通る」の2条件から \( t \) の方程式が立ちます。グラフで見ると複数本の接線があることが確認できます。
接線の傾き \( m \) と法線の傾き \( -1/m \) の直交関係を確認します。\( f’(a) = 0 \)（水平接線）の場合は法線が鉛直 \( x = a \) になる特殊ケースも扱います。
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