次の各関数について、指定した点での法線の方程式を求めよ。
(1) \( f(x) = x^2 - 2x + 3 \) の \( x = 1 \) での法線
(2) \( f(x) = x^3 \) の \( x = 1 \) での法線
(3) \( f(x) = x^3 \) の \( x = 0 \) での法線（特殊ケース）
法線とは、曲線上の接点で接線と直角に交わる直線です。
2直線が直交する条件: 傾きの積 \( = -1 \)
したがって:
次の図で接線と法線の直交関係、および \( f’(a) = 0 \) の特殊ケースを確認してください。
左: 接線の傾き \( 2 \) と法線の傾き \( -1/2 \) が直交しています。右: \( f’(0) = 0 \) で接線が水平になり、法線は鉛直（\( x = 0 \)）になります。
2直線の傾きをそれぞれ \( m_1,\, m_2 \) とします。これらが直交するとき（なす角が \( 90° \)）は \( m_1 m_2 = -1 \) が成り立ちます。
接線の傾きが \( f’(a) = m \) のとき、法線の傾き \( m_2 \) は:
ただし \( f’(a) = 0 \) の場合は「接線が水平」なので、直交する直線は「鉛直」（\( x = a \)）になります。この場合は傾きが定義されないため、別扱いが必要です。
\( f’(1) = 0 \) なので接線は水平 → 法線は鉛直:
\( f(x) = (x-1)^2 + 2 \) の頂点 \( (1, 2) \) では接線が水平になり、法線は \( y \) 軸と平行な直線 \( x = 1 \) になります。
法線の傾き \( = -\frac{1}{3} \)。直交確認: \( 3 \times \left(-\frac{1}{3}\right) = -1 \checkmark \)
法線の方程式:
\( f’(0) = 0 \) なので接線は \( y = 0 \)（水平、\( x \) 軸）→ 法線は鉛直:
これは \( y \) 軸そのものです。
| \( f’(a) \) | 接線 | 法線 |
|---|---|---|
| \( m \neq 0 \) | 傾き \( m \)、\( y - f(a) = m(x-a) \) | 傾き \( -1/m \)、\( y - f(a) = -\frac{1}{m}(x-a) \) |
| \( m = 0 \) | 水平: \( y = f(a) \) | 鉛直: \( x = a \) |
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