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\( f(x) = x^3 - 3ax \)（\( a \) は実数の定数）の \( -2 \leq x \leq 2 \) での最大値・最小値を求めよ。
\( a \) の値によって \( f’(x) = 0 \) の解が変わり、極値の位置と増減方向が変わります。\( a > 0 \) のとき極値が区間内に現れ、\( a \leq 0 \) のとき \( f’(x) \geq 0 \) で単調増加になります。
次の図で \( a = 1 \) と \( a = -1 \) のケースを確認してください。
左（\( a = 1 \)）: 極大・極小が区間内に現れ、端点との比較が必要。右（\( a = -1 \)）: \( f’(x) > 0 \) で単調増加、端点だけで最大・最小が決まる。
導関数を求めます。
| \( a \leq 0 \) のとき: \( x^2 - a = x^2 + | a | \geq 0 \) なので \( f’(x) \geq 0 \) が常に成り立ちます。\( f(x) \) は単調増加なので、最大値は右端点 \( x = 2 \)、最小値は左端点 \( x = -2 \) で達成されます。 |
\( a > 0 \) のとき: \( f’(x) = 0 \) の解は \( x = \pm\sqrt{a} \)。これらが区間 \( (-2,2) \) 内にあるかどうかで、さらに場合分けが必要です。
\( a \geq 4 \) のとき: \( \sqrt{a} \geq 2 \) なので \( x = \pm\sqrt{a} \) は区間外。\( f’(x) \) の符号を確認すると区間内で \( f’(x) < 0 \) 、つまり単調減少。最大値は左端点、最小値は右端点。
以下では \( 0 < a < 4 \) の場合（極値が区間内に存在する最も重要なケース）を詳しく示し、他のケースをまとめます。
\( \sqrt{a} < 2 \) なので \( x = \pm\sqrt{a} \) が区間 \( (-2,2) \) 内に存在します。
増減表:
| \( x \) | \( \cdots \) | \( -\sqrt{a} \) | \( \cdots \) | \( \sqrt{a} \) | \( \cdots \) |
|---|---|---|---|---|---|
| \( f’(x) \) | \( + \) | \( 0 \) | \( - \) | \( 0 \) | \( + \) |
| \( f(x) \) | ↗ | 極大 | ↘ | 極小 | ↗ |
候補点での関数値:
\( 0 < a < 4 \) の範囲で各値を比較すると（\( a\sqrt{a} > 0 \) に注意）:
最大値: \( 2a\sqrt{a} \)（\( x = -\sqrt{a} \) のとき）
最小値: \( -2a\sqrt{a} \)（\( x = \sqrt{a} \) のとき）
（\( f(-2) = -8+6a \) と \( f(2) = 8-6a \) はいずれも \( 2a\sqrt{a} \) より小さい。具体的な確認は練習問題として残します。）
| 条件 | 最大値 | 最小値 |
|---|---|---|
| \( a \leq 0 \) | \( f(2) = 8-6a \) | \( f(-2) = -8+6a \) |
| \( 0 < a < 4 \) | \( 2a\sqrt{a} \) | \( -2a\sqrt{a} \) |
| \( a \geq 4 \) | \( f(-2) = -8+6a \) | \( f(2) = 8-6a \) |
文字係数を含む最大・最小の手順です。
| 手順 | 内容 |
|---|---|
| 1. \( f’(x) \) を求める | 文字 \( a \) を含む式のまま |
| 2. \( f’(x) = 0 \) の解を求める | \( a \) の符号によって解の性質が変わる |
| 3. 解が区間内か判定する | 境界値（例: \( a = 0,\;a = 4 \)）で場合分け |
| 4. 各ケースで候補点を比較 | 極値点 + 両端点の全候補 |
係数の符号で極値の位置と増減方向が反転する理由は、\( f’(x) = 3(x^2 - a) \) の零点 \( x = \pm\sqrt{a} \) が \( a \) の正負によって実数か虚数か（区間内か区間外か）が変わるからです。
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