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\( f(x) = x^3 - 3x \) について、次の各区間での最大値・最小値を求めよ。
(1) \( 0 \leq x \leq 3 \) (2) \( -2 \leq x \leq 2 \)
閉区間 \( a \leq x \leq b \) での最大値・最小値は、極値と端点の値をすべて比較して決めます。「極値が最大値だろう」という思い込みは誤りで、端点が最大・最小になることがあります。
次の図で、2つの区間での候補点と最大・最小の位置を確認してください。
左の \( 0 \leq x \leq 3 \) では端点 \( x=3 \) が最大値になっています。右の \( -2 \leq x \leq 2 \) では極大・極小・両端点の全候補を比べる必要があります。
開区間 \( (a,\,b) \) でもし極値が1個だけなら、それが最大または最小でした。しかし閉区間では端点 \( x = a \) と \( x = b \) での値も関数値として確定しており、候補から外せません。
グラフで言うと、区間の端点でグラフが「切り取られる」ため、切り取られた端が高い（または低い）位置にある場合は端点が最大（または最小）になります。
候補点のリスト（必ず全部比較すること）:
まず \( f(x) = x^3 - 3x \) の導関数と極値を求めます。
\( f’(x) = 0 \) → \( x = -1 \)（極大）、\( x = 1 \)（極小）。
| \( x \) | \( \cdots \) | \( -1 \) | \( \cdots \) | \( 1 \) | \( \cdots \) |
|---|---|---|---|---|---|
| \( f’(x) \) | \( + \) | \( 0 \) | \( - \) | \( 0 \) | \( + \) |
| \( f(x) \) | ↗ | 極大 \( 2 \) | ↘ | 極小 \( -2 \) | ↗ |
\( 0 \leq x \leq 3 \) に含まれる極値点: \( x = 1 \)（\( x = -1 \) は区間外）。
| 候補点 | 関数値 |
|---|---|
| \( x = 0 \)（端点） | \( f(0) = 0 \) |
| \( x = 1 \)（極小） | \( f(1) = -2 \) |
| \( x = 3 \)（端点） | \( f(3) = 27 - 9 = 18 \) |
最大値: \( 18 \)（\( x = 3 \) のとき）、最小値: \( -2 \)（\( x = 1 \) のとき）
端点 \( x = 3 \) が最大値になっています。極大点 \( x = -1 \) は区間外なので無視します。
\( -2 \leq x \leq 2 \) に含まれる極値点: \( x = -1 \)（極大）、\( x = 1 \)（極小）。
| 候補点 | 関数値 |
|---|---|
| \( x = -2 \)（端点） | \( f(-2) = -8 + 6 = -2 \) |
| \( x = -1 \)（極大） | \( f(-1) = -1 + 3 = 2 \) |
| \( x = 1 \)（極小） | \( f(1) = 1 - 3 = -2 \) |
| \( x = 2 \)（端点） | \( f(2) = 8 - 6 = 2 \) |
最大値: \( 2 \)（\( x = -1 \) および \( x = 2 \) のとき）、最小値: \( -2 \)（\( x = -2 \) および \( x = 1 \) のとき）
最大値が2点で達成されていることに注意してください。
閉区間での最大・最小を求める手順です。
| 手順 | 内容 |
|---|---|
| 1. 極値点を求める | \( f’(x) = 0 \) の解のうち区間内にあるもの |
| 2. 候補点リストを作る | 極値点 + 両端点 |
| 3. 各候補点で \( f(x) \) を計算 | 表にまとめる |
| 4. 最大・最小を決める | 最も大きい値が最大値、最も小さい値が最小値 |
端点を候補から外してはいけない理由は、閉区間では端点での値も比較の対象になるからです。「極値 = 最大値（最小値）」という思い込みを捨て、全候補を比較するのが正しい手順です。
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