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次の不等式を証明せよ。等号成立条件も述べよ。
(1) \( x \geq 0 \) のとき \( x^3 - 3x + 2 \geq 0 \)
(2) \( x \geq 1 \) のとき \( x^3 \geq 3x - 2 \)
不等式 \( f(x) \geq g(x) \) を示すには、\( h(x) = f(x) - g(x) \) とおいて \( h(x) \geq 0 \) を示すのが基本方針です。
\( h(x) \geq 0 \) を示すには「考える範囲での \( h(x) \) の最小値 \( \geq 0 \)」を確認すれば十分です。最小値の位置は \( h’(x) = 0 \) から見つけます。
次の図で \( h(x) \) のグラフと最小値の位置を確認してください。
左: \( h(x) \) の最小値が \( 0 \) なので、\( x \geq 0 \) 全体で \( h(x) \geq 0 \) が成立しています。右: \( x \geq 1 \) で \( y = x^3 \) が \( y = 3x - 2 \) の上側にあります。
「\( h(x) \geq 0 \) がすべての \( x \) で成立」とは「\( h(x) \) が \( 0 \) を下回らない」ということです。これは「最小値 \( \geq 0 \)」と等価です。
最小値 \( < 0 \) なら、その点で \( h(x) < 0 \)（不等式が成立しない点が存在）。最小値 \( = 0 \) なら、すべての点で \( h(x) \geq 0 \)（等号成立条件は最小値を達成する点）。
\( h(x) = x^3 - 3x + 2 \) とおく。\( x \geq 0 \) での最小値を調べます。
\( x \geq 0 \) の範囲で \( h’(x) = 0 \) の解: \( x = 1 \)（\( x = -1 \) は範囲外）
| \( x \) | \( 0 \) | \( \cdots \) | \( 1 \) | \( \cdots \) |
|---|---|---|---|---|
| \( h’(x) \) | \( - \) | \( - \) | \( 0 \) | \( + \) |
| \( h(x) \) | \( 2 \) | ↘ | 極小 \( 0 \) | ↗ |
\( x \geq 0 \) での \( h(x) \) の最小値 \( = h(1) = 1 - 3 + 2 = 0 \)
よって \( x \geq 0 \) で \( h(x) \geq 0 \)、すなわち \( x^3 - 3x + 2 \geq 0 \)
等号成立は \( x = 1 \) のとき。
\( h(x) = x^3 - (3x - 2) = x^3 - 3x + 2 \) とおく。\( x \geq 1 \) での最小値を調べます。
\( x \geq 1 \) では \( x + 1 > 0,\; x - 1 \geq 0 \) なので \( h’(x) \geq 0 \)。
よって \( h(x) \) は \( x \geq 1 \) で単調増加。
最小値は \( h(1) = 0 \geq 0 \) なので、\( x \geq 1 \) で \( h(x) \geq 0 \)、すなわち \( x^3 \geq 3x - 2 \)
等号成立は \( x = 1 \) のとき。
「\( \geq \)」は「\( > \) または \( = \)」という意味です。証明で「\( h(x) > 0 \) なので成立」と書くと等号を否定することになり、不等式の範囲が狭すぎます。
最小値が \( 0 \)（等号が成立する点が存在する）のときは、必ず「等号は \( x = \circ \) のとき成立」と明記する必要があります。
| 手順 | 内容 |
|---|---|
| 1. \( h(x) = f(x) - g(x) \) とおく | 不等式を \( h(x) \geq 0 \) に変換 |
| 2. \( h’(x) = 0 \) を解く | 最小値候補点を特定 |
| 3. 増減表を作る（または単調性を確認） | 最小値の位置を確定 |
| 4. 最小値を計算する | \( \geq 0 \) なら証明完了 |
| 5. 等号成立条件を明記する | 最小値 \( = 0 \) を達成する \( x \) |
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