次の関数の極値を求め、増減を調べよ。
(1) \( f(x) = -x^3 + 3x \) (2) \( f(x) = x^3 \)
\( f’(x) \) の符号が \( + \) から \( - \) に変わる点では極大、\( - \) から \( + \) に変わる点では極小が成立します。ただし \( f’(c) = 0 \) であっても符号が変わらなければ極値にはなりません。
次の図で、符号変化ありの場合（左）と符号変化なしの反例（右）を先に確認してください。
左パネル: \( f’(x) \) が正→負に変化する点で極大、負→正で極小が成立する。右パネル: \( f’(0) = 0 \) でも \( x^3 \) はずっと増加しており、\( x = 0 \) は極値でない。
\( f’(c) = 0 \) は極値であるための必要条件ですが十分条件ではありません。\( f’(c) = 0 \) だとしても、\( c \) の前後で \( f’(x) \) の符号が変わらなければ、関数はその点を通過するだけで極値を持ちません。
反例: \( f(x) = x^3 \)
\( f’(x) = 3x^2 \) なので \( f’(0) = 0 \) です。しかし \( x \neq 0 \) では常に \( f’(x) = 3x^2 > 0 \) なので、\( f(x) \) は \( x = 0 \) の前後でずっと増加しています。\( x = 0 \) は極値でありません。
極値の判定: 符号変化の確認が必須
Step 1: 導関数を求める。
Step 2: \( f’(x) = 0 \) を解く。
Step 3: 増減表を書く。
| \( x \) | \( \cdots \) | \( -1 \) | \( \cdots \) | \( 1 \) | \( \cdots \) |
|---|---|---|---|---|---|
| \( f’(x) \) | \( - \) | \( 0 \) | \( + \) | \( 0 \) | \( - \) |
| \( f(x) \) | ↘ | 極小 | ↗ | 極大 | ↘ |
Step 4: 極値を計算する。
Step 1: 導関数を求める。
Step 2: \( f’(x) = 0 \) を解く。
Step 3: 増減表を書く。
| \( x \) | \( \cdots \) | \( 0 \) | \( \cdots \) |
|---|---|---|---|
| \( f’(x) \) | \( + \) | \( 0 \) | \( + \) |
| \( f(x) \) | ↗ | ↗ | ↗ |
\( x = 0 \) の前後で \( f’(x) \) の符号は \( + \) のまま変化しないので、極値なし。
| 手順 | 内容 |
|---|---|
| 1. 導関数を求める | \( f’(x) = \cdots \) |
| 2. \( f’(x) = 0 \) の解を求める | 候補点 \( x = c \) |
| 3. 符号変化を確認する | 前後の \( f’(x) \) の正負を調べる |
| 4. 極値を計算する | \( f(c) \) が極大値または極小値 |
増減表を書くとき、\( f’(c) = 0 \) だからといって極値と決めつけないこと。\( f’(x) \) の符号が変わるかどうかを必ず確認するのが正しい手順です。
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