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f’(x) の符号変化を読むだけで関数の増減・極値・グラフの形が決まる
接線の傾き（導関数）が正なら関数は増加、負なら減少します。この単純な事実が、グラフの形を代数的に決定する道具になります。導関数を求め、\( f’(x) = 0 \) の解の前後で符号がどう変わるかを追うだけで、「どこで上がってどこで下がるか」「折り返し点はどこか」がすべて分かります。
特に注意が必要なのは「\( f’(c) = 0 \) でも極値でない場合がある」という点です。\( f(x) = x^3 \) の \( x = 0 \) がその典型例で、\( f’(0) = 0 \) ですが前後で符号が変わらないため極値ではありません。この反例を先に理解してから増減表の手順を学ぶと、「符号変化の確認が必須」という意味が明確になります。
差商 \( \frac{f(a+h)-f(a)}{h} \) の極限が接線の傾き（微分係数）になることを確認します。基本公式 \( (x^n)’ = nx^{n-1} \) を使って多項式の導関数を求め、\( f’(x) \) の符号が増減を決める仕組みを計算例で確認します。
\( f’(c) = 0 \) は極値の必要条件にすぎないことを、\( f(x) = x^3 \) の反例で先に確認します。その後、\( f’(x) \) の符号変化を追う増減表の書き方と、極大・極小の判定手順を例題で練習します。
導関数の符号変化から、3次関数のグラフの「折り返し点の座標」と「増減の方向」を決定します。増減表とグラフを対応させることで、グラフを計算ゼロで描く流れを2例で確認します。
この単元の例題を模範解答と意味説明を 2 段組で並べた解説 PDF を無料で配布しています。
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