方程式への応用 — $ f(x) = k $ の実数解の個数

問題

次の方程式の実数解の個数を、定数 $ k $ の値の範囲ごとに求めよ。

$$ x^3 - 3x = k $$

$ f(x) = k $ の実数解の個数は、グラフ $ y = f(x) $ と水平線 $ y = k $ の交点数と等しくなります。

次の図で、$ k $ の値を変えたときの交点数の変化を確認してください。

y=x³-3x に k=3,0,-3 の y=k を重ねた交点数の変化（左）と解の個数の場合分け（右）

左: 水平線 $ y = k $ を上下させると交点数が変わります。右: 境界値（極大値・極小値）を基準に $ k $ を場合分けすると、各範囲での解の個数が確定します。

$ f(x) = x^3 - 3x $ の増減を調べます。

$$ f'(x) = 3x^2 - 3 = 3(x+1)(x-1) $$

$ x $	$ \cdots $	$ -1 $	$ \cdots $	$ 1 $	$ \cdots $
$ f’(x) $	$ + $	$ 0 $	$ - $	$ 0 $	$ + $
$ f(x) $	↗	極大 $ 2 $	↘	極小 $ -2 $	↗

グラフ $ y = f(x) $ は $ x = -1 $ で折り返して下がり、$ x = 1 $ で折り返して上がります。水平線 $ y = k $ との交点数は:

$ k = 2 $（極大値）のとき、水平線 $ y = 2 $ は $ x = -1 $ で曲線と接触します。この接触点では $ f’(-1) = 0 $ なので、水平線が曲線に「乗っかる」状態になります。

代数的には $ x^3 - 3x - 2 = (x+1)^2(x-2) = 0 $ と因数分解でき、$ x = -1 $ は2重解、$ x = 2 $ は単純解 → 実際の解の個数は2個。

$ k = -2 $ でも同様に $ x = 1 $ が2重解になります（$ x^3 - 3x + 2 = (x-1)^2(x+2) = 0 $）。

方程式・不等式への応用問題を収録した解説PDFを無料で配布しています。

\( x \)	\( \cdots \)	\( -1 \)	\( \cdots \)	\( 1 \)	\( \cdots \)
\( f’(x) \)	\( + \)	\( 0 \)	\( - \)	\( 0 \)	\( + \)
\( f(x) \)	↗	極大 \( 2 \)	↘	極小 \( -2 \)	↗