導関数とは何か — 微分の基本公式と増減への使い方

動機: 「変化の速さ」を一つの数で表したい

直線 $ y = mx + b $ では傾き $ m $ が「増え方の速さ」を表します。しかし $ f(x) = x^3 - 3x $ のような曲線では、場所によって傾き（増え方の速さ）が変わります。

導関数 $ f’(x) $ は、各点 $ x $ での曲線の「その瞬間の傾き」を与える関数です。これを使うと、関数がどこで増えてどこで減るかを代数的に決定できます。

点 $ (a,\,f(a)) $ と点 $ (a+h,\,f(a+h)) $ を結ぶ直線の傾きを差商と呼びます。

$$ \frac{f(a+h)-f(a)}{h} $$

$ h $ を 0 に近づけると、割線（2点を結ぶ直線）は点 $ (a,\,f(a)) $ での接線に近づきます。この極限値を微分係数と言います。

$$ f'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h)-f(a)}{h} $$

$ a $ を変数 $ x $ としてみたとき、$ f’(x) $ が導関数です。次の図で差商が接線に収束する様子と、$ f’(x) $ の符号が増減を決める様子を確認してください。

差商から接線への収束（左）と f'(x) の符号・増減の対応（右）

左パネル: $ h $ を小さくするほど割線（破線）が接線（赤）に近づく。右パネル: $ f’(x) > 0 $ の区間（緑）では右上がり、$ f’(x) < 0 $ の区間（赤）では右下がりになる。

接線の傾きが正 $ (f’(x) > 0) $ とは、曲線が右上がりであることを意味します。これは $ x $ が少し増えると $ f(x) $ も増えるということです。

「候補」と書いたのは、$ f’(c) = 0 $ でも必ずしも増減が切り替わるとは限らないからです（詳しくは次の記事で扱います）。

極限を毎回計算する代わりに、次の公式を使います（高校数II の範囲: $ n $ は自然数）。

$$ (x^n)' = nx^{n-1} $$

線形性: $ (af(x) + bg(x))’ = af’(x) + bg’(x) $ が成り立つので、多項式は各項を個別に微分して足せます。

例: $ f(x) = 3x^3 - 2x^2 + x - 5 $ のとき

$$ f'(x) = 9x^2 - 4x + 1 $$

Step 1: 導関数を求める。

$$ f'(x) = 3x^2 - 3 = 3(x-1)(x+1) $$

Step 2: $ f’(x) = 0 $ の解（増減の候補点）を求める。

$$ x = -1,\quad x = 1 $$

Step 3: $ f’(x) $ の符号を各区間で確認する。

$ x $	$ \cdots $	$ -1 $	$ \cdots $	$ 1 $	$ \cdots $
$ f’(x) $	$ + $	$ 0 $	$ - $	$ 0 $	$ + $
$ f(x) $	↗	極大	↘	極小	↗

増減表の読み方・極値の判定条件は次の記事で詳しく扱います。

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\( x \)	\( \cdots \)	\( -1 \)	\( \cdots \)	\( 1 \)	\( \cdots \)
\( f’(x) \)	\( + \)	\( 0 \)	\( - \)	\( 0 \)	\( + \)
\( f(x) \)	↗	極大	↘	極小	↗