次の関数のグラフの概形を描け。
(1) \( f(x) = x^3 - 3x \) (2) \( f(x) = x^3 - 3x^2 \)
3次関数のグラフを描くために計算すべきことは3点だけです。
導関数の符号変化だけでグラフの形（右上がり・右下がり・折り返し）が決まります。
次の図で、増減表とグラフの対応を2つの例で確認してください。
緑の点が極大、赤の点が極小を示しています。増減表の ↗↘ がグラフの上がり下がりに直結していることを確認してください。
3次関数 \( f(x) = ax^3 + \cdots \) では \( f’(x) \) は2次式になります。2次式の零点（\( f’(x) = 0 \) の解）は高々2個なので、\( x \) 軸を最大2か所で分割します。各区間では \( f’(x) \) の符号が一定なので、関数は単調増加か単調減少かのどちらかです。
したがって3次関数の増減は「最大2か所の折り返しを持つ S 字曲線」または「単調増加（または減少）」の2パターンに限られます。グラフを完成させるには、各折り返し点（極値）の \( (x,\,f(x)) \) の座標を計算するだけです。
Step 1: 導関数。
Step 2: \( f’(x) = 0 \) → \( x = -1,\; 1 \)。
Step 3: 増減表。
| \( x \) | \( \cdots \) | \( -1 \) | \( \cdots \) | \( 1 \) | \( \cdots \) |
|---|---|---|---|---|---|
| \( f’(x) \) | \( + \) | \( 0 \) | \( - \) | \( 0 \) | \( + \) |
| \( f(x) \) | ↗ | 極大 | ↘ | 極小 | ↗ |
Step 4: 極値の計算。
Step 5: \( y \) 切片: \( f(0) = 0 \)。\( x \to \pm\infty \) での挙動: \( x \to +\infty \) で \( f \to +\infty \)、\( x \to -\infty \) で \( f \to -\infty \)。
これだけでグラフの概形（\( (-1,\,2) \) で折り返して下がり、\( (1,\,-2) \) で折り返して上がる S 字）が決まります。
Step 1: 導関数。
Step 2: \( f’(x) = 0 \) → \( x = 0,\; 2 \)。
Step 3: 増減表。
| \( x \) | \( \cdots \) | \( 0 \) | \( \cdots \) | \( 2 \) | \( \cdots \) |
|---|---|---|---|---|---|
| \( f’(x) \) | \( + \) | \( 0 \) | \( - \) | \( 0 \) | \( + \) |
| \( f(x) \) | ↗ | 極大 | ↘ | 極小 | ↗ |
Step 4: 極値の計算。
Step 5: \( y \) 切片: \( f(0) = 0 \)（極大値と一致）。グラフは \( (0,\,0) \) から下がり \( (2,\,-4) \) で折り返して上がる形。
3次関数のグラフを描く手順をまとめます。
| 手順 | 内容 |
|---|---|
| 1. \( f’(x) \) を求める | 3次 → 2次式 |
| 2. \( f’(x) = 0 \) の解 | 最大2個の候補点 |
| 3. 増減表を書く | 各区間の符号確認 |
| 4. 極値 \( f(c) \) を計算 | 概形の折り返し点 |
| 5. \( y \) 切片・端点挙動 | \( x \to \pm\infty \) は最高次で決まる |
導関数の符号変化だけでグラフの形が決まる理由は、「各区間で \( f’(x) \) が一定符号なので \( f(x) \) が単調」だからです。折り返し点の座標さえ計算すれば、あとは符号変化の方向に従って繋ぐだけでグラフが完成します。
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