グラフの形が分かれば、\( f(x) = k \) の解の個数も \( f(x) \geq g(x) \) の証明も視覚的に判断できる
前の単元（増減・極値・最大最小）で、微分を使って関数の増減表を作り、グラフの概形を決定する方法を学びました。この単元では、決定したグラフの形を「方程式や不等式の問題解決」に応用します。
方程式への応用: \( f(x) = k \) という方程式の実数解は、グラフ \( y = f(x) \) と水平線 \( y = k \) の交点に対応します。増減表から極大値・極小値が分かれば、\( k \) のどの範囲で交点が何個あるかが決まります。
不等式への応用: \( f(x) \geq g(x) \) は \( h(x) = f(x) - g(x) \geq 0 \) と同値です。\( h(x) \) の最小値を微分で求め、最小値 \( \geq 0 \) であることを確認すれば証明が完了します。
\( f(x) = k \) の解 \( = \) グラフ \( y = f(x) \) と \( y = k \) の交点数という対応を確認します。\( x^3 - 3x = k \) を例に、\( k \) の範囲ごとに解の個数を場合分けする手順を解説します。
\( h(x) = f(x) - g(x) \) とおいて最小値を調べる基本手順を、2つの例題で確認します。等号成立条件の明記まで含めた完全な証明の書き方を学びます。
この単元の例題を模範解答と意味説明を 2 段組で並べた解説 PDF を無料で配布しています。