連立不等式の表す領域内で \( z = ax + by \) の最大・最小を求める問題を考えます。
\( z = ax + by = k \) と置くと、これは傾き \( -a/b \) の直線です。\( k \) を変化させると、この直線は平行に移動します（傾きは一定のまま y 切片が変わる）。この「\( k \) を変化させたときの直線の族」が等高線です。
\( k \) が最大・最小になる点は、等高線が領域と「最後に接する点」です。
線形目的関数 \( z = ax + by \) の等高線は平行な直線群です。これが凸領域を横切るとき、最初の接触点と最後の接触点は必ず領域の頂点（または辺）です。
領域が凸多角形の場合、等高線が辺と平行でない限り、最大・最小は必ず頂点で実現します。等高線が辺と平行な場合は、その辺全体が最大・最小となります（辺上のどの点でも同じ値）。
二次関数の最大・最小との比較は 二次関数の最大・最小 も参照してください。
Step 1. 連立不等式の表す領域を図示し、頂点を全て求める
境界線の交点を連立方程式で求め、それらが全ての不等式を満たすか確認します。
Step 2. 各頂点で \( z = ax + by \) の値を計算する
を各頂点の座標で計算して一覧にします。
Step 3. 最大・最小を選ぶ
計算した値の中から最大値と最小値を選びます。
\( z = ax + by = k \) を \( y \) について解くと \( y = -\frac{a}{b}x + \frac{k}{b} \)（\( b \neq 0 \) のとき）です。
| 手順 | 内容 |
|---|---|
| 領域を図示 | 連立不等式の共通部分を求め、頂点を確定 |
| 等高線を描く | \( z = ax+by = k \) を \( k \) を変えて平行移動 |
| 頂点で値を計算 | 全ての頂点に \( z = ax+by \) を代入 |
| 最大・最小を選ぶ | 最も大きい値・最も小さい値を答える |
等高線が辺と平行な場合は「辺上の全ての点で最大（最小）」となることに注意。
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