不等式の表す領域 — 境界線と半平面

動機: 不等式は「どちら側か」を表す

等式 \( f(x, y) = 0 \) は座標平面上に「境界線」を描きます。不等式 \( f(x, y) > 0 \) は「その境界線のどちら側にあるか」を表しています。

直線や円を境界として、座標平面が2つの領域に分かれます。不等式はそのどちら一方を指定します。

不等式 \( y > f(x) \) を考えます。固定した \( x \) の値に対して、\( y > f(x) \) は「その \( x \) での関数値 \( f(x) \) より \( y \) が大きい」ことを意味します。

\( y \) 軸の正方向は「上」なので、\( y > f(x) \) は「曲線 \( y = f(x) \) よりも上側にある点の集まり」です。これが「曲線の上側」になる理由です。

Step 1. 境界線 \( f(x, y) = 0 \) を描く

等号を含む（\( \geq, \leq \)）なら実線、含まない（\( >, < \)）なら破線で描きます。

Step 2. テスト点（通常 \( (0, 0) \)）を代入して条件を確認する

\( (0, 0) \) が境界線上にある場合は別の点を選びます（例えば \( (1, 0) \) や \( (0, 1) \)）。

Step 3. 条件を満たす側を塗る

テスト点が条件を満たせばテスト点のある側、満たさなければ反対側が求める領域です。

領域の境界線となる直線の方程式は直線の方程式、円の方程式は円の方程式を参照してください。

不等式の領域の図

この単元の例題9問（不等式の領域・連立・線形計画法）を2段組で解説したPDFを無料で配布しています。