動点 \( P(x, y) \) の位置がパラメータ \( t \) を使って
と表されているとき、\( t \) を消去して \( x \) と \( y \) だけの関係式を求めます。
消去の方針:
消去した後、パラメータの範囲（例えば \( t > 0 \) など）から \( x, y \) の取りうる範囲が制限されることがあります。
必要条件と十分条件の違いが核心です。
両方が成り立って初めて「軌跡はこの式である」と言えます。式変形だけでは十分条件が保証されていません。
具体例: 分母を払う操作では、払った分母がゼロの点が新たに「式を満たす点」として混入する可能性があります。このような点は元の条件を満たさないので除外点として取り除く必要があります。
| 状況 | 除外点が生まれる理由 |
|---|---|
| 分母が 0 の点 | 分母を払う前の式が定義されなかった点 |
| 絶対値を外すとき | 符号の条件が失われ、反対符号の点が混入 |
| 変数の範囲制限 | パラメータの範囲制限から \( x, y \) の範囲が制限される |
| 因数分解して約分 | 約分した因数が 0 の点（元の式では0/0になる） |
軌跡を求める手順を整理します。
「式を求めて終わり」ではなく、逆の確認と除外点の確認まで行うことが軌跡の問題の完答条件です。
この単元の例題6問（軌跡の概念・媒介変数消去・除外点の確認）を2段組で解説したPDFを無料で配布しています。