2直線の関係 — 平行・垂直条件の幾何的意味

動機: 傾きだけで平行・垂直が決まるのか

2直線の相対的な向きは、それぞれの「傾き」だけで完全に決まります。y 切片は直線の位置を決めますが向きには無関係です。

傾きが等しいとは「x が 1 増えたとき y の変化量が同じ」ことです。これは「同じ方向を向いている」ことを意味し、2直線は交わらず平行になります。

$ n_1 = n_2 $ のときは全く同じ直線（同一直線）になります。平行条件には $ n_1 \neq n_2 $ が必要です。

$$ \ell_1 \parallel \ell_2 \iff m_1 = m_2 \text{ かつ } n_1 \neq n_2 $$

一方の傾きを $ m $ とすると、その直線を 90° 回転した直線の傾きを考えます。

直線 $ \ell_1 $ の方向ベクトルは $ (1, m) $ です。これを 90° 回転すると $ (-m, 1) $ になります（x と y を入れ替えて x 成分の符号を変える）。この方向ベクトルの傾きは $ \frac{1}{-m} = -\frac{1}{m} $ です。

したがって垂直条件は、

$$ \ell_1 \perp \ell_2 \iff m_1 m_2 = -1 $$

直角三角形の辺の比が逆になり符号も逆転することで積が $ -1 $ になります。

重要な例外: 一方の直線が垂直線 $ x = a $（傾きが定義されない）のとき、条件式 $ m_1 m_2 = -1 $ は直接使えません。垂直線と水平線 $ y = b $ は垂直です。これは定義から直接確認します。

微分による接線の方程式でも垂直条件が使われます。詳しくは微分と接線を参照してください。

2直線の関係の図

この単元の例題9問（直線の方程式・2直線の関係・距離）を2段組で解説したPDFを無料で配布しています。