直線とは「同じ傾きで並ぶ点の集まり」です。傾き \( m \) と y 切片 \( n \) が決まれば \( y = mx + n \) でその集まり全体を1本の式で表せます。
「直線上の任意の点 \( (x, y) \) が満たす条件」を式にしたものが直線の方程式です。
傾き \( m \) の意味は「x が 1 増えると y が \( m \) 増える」ことです。y 切片 \( n \) は \( x = 0 \) での y 座標です。
点 \( (x_1, y_1) \) を通り傾き \( m \) の直線は、点傾き形で表せます。
2点 \( (x_1, y_1) \), \( (x_2, y_2) \) を通る直線の傾きは、
この \( m \) を点傾き形に代入すれば2点を通る直線の方程式が得られます。
\( x_1 = x_2 \) のとき、傾き \( m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} \) の分母がゼロになり、傾きは「無限大」で定義されません。この直線は \( y = mx + n \) では表せません。
この直線の方程式は単純に \( x = a \)（定数）です。「x 座標が \( a \) である全ての点の集まり」という意味です。
一般形を使うと垂直線を含む全ての直線を統一的に表せます。
\( b \neq 0 \) のとき、一般形から傾きを取り出すには \( y \) について解けばよく、
となります。
| 形式 | 方程式 | 傾き | 適用場面 |
|---|---|---|---|
| 傾き切片形 | \( y = mx + n \) | \( m \) | 傾きと切片が既知のとき |
| 点傾き形 | \( y - y_1 = m(x - x_1) \) | \( m \) | 点と傾きが既知のとき |
| 2点形 | \( y - y_1 = \frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}(x - x_1) \) | \( \frac{y_2-y_1}{x_2-x_1} \) | 2点が既知のとき |
| 一般形 | \( ax + by + c = 0 \) | \( -a/b \; (b \neq 0) \) | 常に使える（垂直線含む） |
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