点と直線の距離 — なぜあの公式が成り立つか

動機: 距離の公式はどこからくるか

「点から直線への距離」とは、点から直線へ下ろした垂線の長さです。座標を使って計算すると、見慣れた公式が現れます。その公式の分母に $ \sqrt{a^2+b^2} $ が登場する理由を、法線ベクトルの考え方から理解します。

点 $ (x_0, y_0) $ と直線 $ ax + by + c = 0 $ の距離 $ d $ は、

$$ d = \frac{|ax_0 + by_0 + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}} $$

直線 $ ax + by + c = 0 $ の法線ベクトル（直線に垂直なベクトル）は $ \boldsymbol{n} = (a, b) $ です。この長さが $ \sqrt{a^2 + b^2} $ です。

点から直線への距離は「直線に垂直な方向の成分」です。法線方向の単位ベクトルは $ \frac{(a,b)}{\sqrt{a^2+b^2}} $ なので、点 $ (x_0, y_0) $ から直線上の任意の点 $ Q $ へのベクトルを法線方向に射影すると距離が得られます。整理すると分子に \(

ax_0 + by_0 + c

\) が現れ、分母に $ \sqrt{a^2+b^2} $ が来ます。

幾何的な直観: 距離は「直線 $ ax+by+c=0 $ への垂線の長さ」＝「$ ax_0+by_0+c $ を法線方向の単位長さで割ったもの」です。

点 $ (1, 2) $ と直線 $ 3x + 4y - 5 = 0 $ の距離を求めます。

$$ d = \frac{|3 \cdot 1 + 4 \cdot 2 - 5|}{\sqrt{3^2 + 4^2}} = \frac{|3 + 8 - 5|}{\sqrt{9 + 16}} = \frac{6}{\sqrt{25}} = \frac{6}{5} $$

$ \sqrt{9+16} = \sqrt{25} = 5 $ とスッキリ計算できます。

距離の図

平行な2直線 $ ax + by + c_1 = 0 $ と $ ax + by + c_2 = 0 $ の距離は、一方の直線上の任意の点（例えば $ c_1 = 0 $ を満たす点）を他方への距離公式に代入することで求められます。

$$ d = \frac{|c_1 - c_2|}{\sqrt{a^2 + b^2}} $$

対象	公式
点 $ (x_0,y_0) $ と直線 $ ax+by+c=0 $	$ d = \frac{\vert ax_0+by_0+c\vert}{\sqrt{a^2+b^2}} $
平行2直線間	$ d = \frac{\vert c_1-c_2\vert}{\sqrt{a^2+b^2}} $

分母 $ \sqrt{a^2+b^2} $ は法線ベクトル $ (a,b) $ の長さ（正規化のため）。

この単元の例題9問（直線の方程式・2直線の関係・距離）を2段組で解説したPDFを無料で配布しています。

対象	公式
点 \( (x_0,y_0) \) と直線 \( ax+by+c=0 \)	\( d = \frac{\vert ax_0+by_0+c\vert}{\sqrt{a^2+b^2}} \)
平行2直線間	\( d = \frac{\vert c_1-c_2\vert}{\sqrt{a^2+b^2}} \)