接線の方程式 — 接点と外点からの2通り

接点 T での接線: OT⊥接線

原点中心の円 $ x^2 + y^2 = r^2 $ の点 $ T(x_1, y_1) $ での接線の方程式は、

$$ x \cdot x_1 + y \cdot y_1 = r^2 $$

なぜこの形か: 点 $ T(x_1, y_1) $ は円上にあるので $ x_1^2 + y_1^2 = r^2 $ が成り立ちます。接線は半径 $ OT $ に垂直です。$ OT $ の方向ベクトルは $ (x_1, y_1) $ なので、点 $ T $ を通り $ OT $ に垂直な直線は

$$ x_1(x - x_1) + y_1(y - y_1) = 0 $$

展開すると $ x \cdot x_1 + y \cdot y_1 = x_1^2 + y_1^2 = r^2 $ となります。

微分を使って接線を求める方法は微分と接線でも解説しています。

外点からの接線: d=r の条件を使う

外点 $ P(x_0, y_0) $ から円 $ x^2 + y^2 = r^2 $ への接線を求めます。

点 $ P $ を通る直線を $ y - y_0 = m(x - x_0) $、すなわち $ mx - y + (y_0 - mx_0) = 0 $ とおきます。

この直線が円に接する条件は「円の中心（原点）からの距離＝半径」、つまり

$$ \frac{|m \cdot 0 - 1 \cdot 0 + (y_0 - mx_0)|}{\sqrt{m^2 + 1}} = r $$

$$ \frac{|y_0 - mx_0|}{\sqrt{m^2 + 1}} = r $$

両辺を二乗して $ m $ について解くと接線の傾きが決まります。ただし $ P $ が円の外側（$ x_0^2 + y_0^2 > r^2 $）でないと接線は引けません。

注意: 接線が垂直線（傾きが定義されない）の場合は別途確認が必要です。

接線の図

まとめ

場合	方法	接線の方程式
接点 $ T(x_1,y_1) $ が既知	OT⊥接線の条件	$ x \cdot x_1 + y \cdot y_1 = r^2 $
外点 $ P(x_0,y_0) $ が既知	距離条件 $ d=r $ でmを決める	傾きを求めて点傾き形に代入

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場合	方法	接線の方程式
接点 \( T(x_1,y_1) \) が既知	OT⊥接線の条件	\( x \cdot x_1 + y \cdot y_1 = r^2 \)
外点 \( P(x_0,y_0) \) が既知	距離条件 \( d=r \) でmを決める	傾きを求めて点傾き形に代入