円と直線の方程式を連立して判別式 \( D \) の符号で判定する方法もありますが、中心から直線への距離 \( d \) と半径 \( r \) の比較の方が幾何的に直感的で計算も簡潔です。
中心 \( (a, b) \)、半径 \( r \) の円と直線 \( \ell: px + qy + s = 0 \) の位置関係は、中心から直線への距離
と半径 \( r \) の大小関係で決まります。
| 条件 | 位置関係 | 共有点の数 |
|---|---|---|
| \( d > r \) | 共有点なし（直線は円の外） | 0 |
| \( d = r \) | 接する（直線が円に接する） | 1 |
| \( d < r \) | 2点で交わる | 2 |
距離公式について詳しくは 点と直線の距離 を参照してください。
直線が円に「届く」かどうかは、中心から直線への最短距離（垂線の長さ）\( d \) が半径 \( r \) 以内かどうかで決まります。
\( d < r \) のとき、2つの交点を結ぶ線分（弦）の長さは三平方の定理から求められます。
中心から垂線の足までの距離が \( d \)、半径が \( r \) なので、交点から垂線の足までの距離は \( \sqrt{r^2 - d^2} \) です。
| \( d \) と \( r \) の関係 | 位置関係 | 共有点数 |
|---|---|---|
| \( d > r \) | 共有点なし | 0 |
| \( d = r \) | 接する | 1 |
| \( d < r \) | 2点で交わる（弦の長さ \( 2\sqrt{r^2-d^2} \)） | 2 |
判別式での判定と結果は一致しますが、距離による判定の方が幾何的意味が明確です。
この単元の例題9問（円の方程式・位置関係・接線）を2段組で解説したPDFを無料で配布しています。