円の方程式 — 中心と半径から標準形・一般形へ

動機: 円を「式」で表す

円とは「中心から等距離の点の集まり」です。この定義をそのまま座標で表すと、ピタゴラスの定理がそのまま式になります。

中心 $ (a, b) $、半径 $ r $ の円を考えます。円上の任意の点 $ P(x, y) $ は、中心 $ (a, b) $ からの距離がちょうど $ r $ です。

$$ \sqrt{(x-a)^2 + (y-b)^2} = r $$

両辺を二乗すると、

$$ (x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2 $$

これが円の標準形です。中心と半径が直接読み取れる形です。

標準形を展開すると一般形が得られます。

$$ x^2 - 2ax + a^2 + y^2 - 2by + b^2 = r^2 $$

$$ x^2 + y^2 - 2ax - 2by + (a^2 + b^2 - r^2) = 0 $$

$ l = -2a,\ m = -2b,\ n = a^2 + b^2 - r^2 $ とおけば $ x^2 + y^2 + lx + my + n = 0 $ の形になります。

逆に一般形から標準形に戻すには平方完成を使います。

例として $ x^2 + y^2 - 6x + 4y - 3 = 0 $ を標準形に変換します。

Step 1. $ x $ の項と $ y $ の項をまとめます。

$$ (x^2 - 6x) + (y^2 + 4y) = 3 $$

Step 2. $ x $ について平方完成します。$ x^2 - 6x = (x-3)^2 - 9 $

Step 3. $ y $ について平方完成します。$ y^2 + 4y = (y+2)^2 - 4 $

Step 4. 代入して整理します。

$$ (x-3)^2 - 9 + (y+2)^2 - 4 = 3 $$

$$ (x-3)^2 + (y+2)^2 = 16 $$

中心 $ (3, -2) $、半径 $ 4 $ の円と分かります。

平方完成の詳しい手順は二次関数の平方完成も参照してください。

円の方程式の図

形式	方程式	中心	半径
標準形	$ (x-a)^2+(y-b)^2=r^2 $	$ (a,b) $	$ r $
一般形	$ x^2+y^2+lx+my+n=0 $	$ \left(-\frac{l}{2},-\frac{m}{2}\right) $	$ \sqrt{\frac{l^2+m^2}{4}-n} $

一般形から標準形への変換は、x の項・y の項をそれぞれ平方完成するだけです。

この単元の例題9問（円の方程式・位置関係・接線）を2段組で解説したPDFを無料で配布しています。

形式	方程式	中心	半径
標準形	\( (x-a)^2+(y-b)^2=r^2 \)	\( (a,b) \)	\( r \)
一般形	\( x^2+y^2+lx+my+n=0 \)	\( \left(-\frac{l}{2},-\frac{m}{2}\right) \)	\( \sqrt{\frac{l^2+m^2}{4}-n} \)