円の方程式

「中心から等距離の点の集まり」という定義をそのまま式にしたものが円の方程式。ピタゴラスの定理が出発点。

この単元で学ぶこと

円とは「中心から距離がちょうど $ r $ の点の集まり」です。中心 $ (a, b) $、半径 $ r $ の円上の点 $ (x, y) $ は、ピタゴラスの定理より

$$ (x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2 $$

を満たします。これが標準形です。展開すれば一般形が得られ、逆に一般形を平方完成すれば標準形に戻せます。

標準形が定義から自然に出てくる理由、一般形への展開、平方完成で標準形に戻す手順。

中心から直線への距離 $ d $ と半径 $ r $ の大小関係で、交わる・接する・交わらないの3ケースを判定。弦の長さも求められる。

接点 $ T(x_1, y_1) $ での接線は $ x \cdot x_1 + y \cdot y_1 = r^2 $。外点からの接線は距離条件で傾きを決める。

この単元の例題9問（円の方程式・位置関係・接線）を2段組で解説したPDFを無料で配布しています。