1次結合と分解 — 2つのベクトルで平面を記述する

動機: 「2本の矢印で平面全体を記述できるか」

非平行な 2 つのベクトル $ \vec{a} $, $ \vec{b} $ があれば、それらを組み合わせて平面上の任意のベクトルを表せます。これが 1 次結合の核心です。

実数 $ s, t $ を変えると、$ s\vec{a} + t\vec{b} $ は平面上のあらゆる方向・大きさのベクトルを表せます。なぜなら $ \vec{a} $ 方向と $ \vec{b} $ 方向が異なる（非平行）ので、2 方向の組み合わせで全方向をカバーできるからです。

基本ベクトル e₁, e₂ の 1 次結合（左）/ 任意ベクトルの sa+tb 分解（右）

定理: $ \vec{a}, \vec{b} $ が非平行なら、$ s\vec{a}+t\vec{b} = \vec{c} $ を満たす $ s, t $ は一意に定まる。

証明（$ s = t = 0 $ でなければ零ベクトルになれない）:

$ s\vec{a}+t\vec{b}=\vec{0} $ のとき、もし $ s \neq 0 $ なら $ \vec{a} = -\frac{t}{s}\vec{b} $（平行を意味する）→ 矛盾。したがって $ s=0 $、同様に $ t=0 $。

最もシンプルな基底は：

$$ \vec{e}_1 = (1, 0), \quad \vec{e}_2 = (0, 1) $$

任意のベクトル $ (a_1, a_2) $ は：

$$ (a_1, a_2) = a_1\vec{e}_1 + a_2\vec{e}_2 $$

成分表示はこの 1 次結合の係数に他なりません。

$ \vec{a}=(1,2) $, $ \vec{b}=(3,1) $ のとき成分ごとに：

$$ s + 3t = 5, \quad 2s + t = 4 $$

① $ \times 2 - $ ②: $ 5t = 6 $, $ t = \frac{6}{5} $

$$ s = \frac{4-\frac{6}{5}}{2} = \frac{7}{5} $$

$$ \vec{p} = \frac{7}{5}\vec{a}+\frac{6}{5}\vec{b} $$

確認: $ \frac{7}{5}(1,2)+\frac{6}{5}(3,1) = \left(\frac{7+18}{5},\ \frac{14+6}{5}\right) = (5,\ 4) $ ✓

$ \overrightarrow{OA}=\vec{a} $, $ \overrightarrow{OB}=\vec{b} $ で、P が OA の 2:1 内分点、Q が OB の中点のとき：

$$ \overrightarrow{OP} = \frac{2}{3}\vec{a}, \quad \overrightarrow{OQ} = \frac{1}{2}\vec{b} $$

$$ \overrightarrow{PQ} = \overrightarrow{OQ}-\overrightarrow{OP} = \frac{1}{2}\vec{b}-\frac{2}{3}\vec{a} $$

$ \vec{a}=(1,2) $, $ \vec{b}=(3,1) $（非平行）のとき $ s\vec{a}+t\vec{b}=\vec{0} $ は $ s=t=0 $ のみ。

連立方程式 $ s+3t=0, 2s+t=0 $ を解くと $ s=t=0 $。