成分表示は「矢印の図を計算に変換する橋」。x 成分・y 成分は座標軸への射影
| 大きさの公式 \( | \vec{a} | = \sqrt{a_1^2 + a_2^2} \) がピタゴラスの定理から来る理由 |
成分分解は「矢印を座標軸に射影すること」。x 軸方向の移動量が x 成分、y 軸方向の移動量が y 成分。\( \overrightarrow{AB} \) の成分は「終点の座標 − 始点の座標」として計算できます。
大きさは x 成分と y 成分を 2 辺とする直角三角形の斜辺の長さです（ピタゴラスの定理）。
成分での演算が幾何と一致する理由は「x 方向と y 方向が独立」だから。x 方向の動きは x 成分同士の足し算、y 方向も同様です。
1 次結合 \( s\vec{a} + t\vec{b} \) は「\( \vec{a} \) を \( s \) 倍した方向と \( \vec{b} \) を \( t \) 倍した方向を合わせた移動」。非平行な 2 ベクトルは独立しており、その係数を自由に変えることで平面上の任意の点に到達できます。
矢印を \( (a_1, a_2) \) で表す意味（x 軸・y 軸への射影）と大きさの公式（ピタゴラスの定理）。成分が同じ \( \Leftrightarrow \) ベクトルが等しいことを確認します。
成分ごとの計算（加法・実数倍）が幾何の操作（頭尾連結・スケーリング）と一致する理由を図と計算を並べて確認します。
非平行な 2 ベクトル \( \vec{a}, \vec{b} \) による \( s\vec{a} + t\vec{b} \) が一意であること（線形独立性）と基本ベクトル \( \vec{e}_1 = (1,0), \vec{e}_2 = (0,1) \) の意味を確認します。