成分による演算 — 加法・実数倍・差

動機: なぜ成分ごとに足してよいか

ベクトルの加法 $ \vec{a} + \vec{b} $ を成分で計算するとき「x 成分どうし、y 成分どうしを足す」と教わります。しかしなぜそれが幾何の頭尾連結と一致するのでしょうか。

頭尾連結で $ \vec{a} + \vec{b} $ を描くと：

x 方向と y 方向は独立（互いに直交）しているため、それぞれの移動量は独立に足し合わせられます。これが「成分ごとに足す」の根拠です。

成分ごとの加法の対応（左）/ 実数倍の成分変化（右）

$ \vec{a} = (a_1, a_2) $, $ \vec{b} = (b_1, b_2) $, 実数 $ k $ に対して：

$$ \vec{a} + \vec{b} = (a_1+b_1,\ a_2+b_2) $$

$$ k\vec{a} = (ka_1,\ ka_2) $$

$$ \vec{a} - \vec{b} = (a_1-b_1,\ a_2-b_2) $$

成分ごとに方程式を立てると、2 元連立一次方程式になります。

$ \vec{a} = (2, 3) $, $ \vec{b} = (-1, 4) $ のとき：

$$ 3\vec{a} - 2\vec{b} = (6,9)-(-2,8) = (6-(-2),\ 9-8) = (8,\ 1) $$

$$ \vec{a}+\vec{b} = (2+(-1),\ 3+4) = (1,\ 7) $$

$$ |\vec{a}+\vec{b}| = \sqrt{1^2+7^2} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2} $$

$ \vec{a}=(1, 2) $, $ \vec{b}=(3, -1) $ のとき成分ごとに：

$$ s + 3t = 7 \quad \cdots \text{①} $$

$$ 2s - t = 1 \quad \cdots \text{②} $$

② より $ t = 2s-1 $ を ① に代入: $ s + 3(2s-1) = 7 $, $ 7s = 10 $, $ s = \frac{10}{7} $

$$ t = \frac{20}{7}-1 = \frac{13}{7} $$

確認: x: $ \frac{10+39}{7}=7 $ ✓, y: $ \frac{20-13}{7}=1 $ ✓

$ \overrightarrow{OA}=(1,2) $, $ \vec{a}=(2,1) $ のとき A からさらに $ \vec{a} $ 移動した点は：

$$ (1+2,\ 2+1) = (3,\ 3) $$

$ \overrightarrow{OA}+\vec{a} $ は「O から A に移動し、さらに $ \vec{a} $ だけ移動した点」の位置ベクトルです。