二次関数 \( y = ax^2 + bx + c \)（\( a \) は \( x^2 \) の係数、\( a \neq 0 \)）の式を変形して、軸の位置と頂点の座標が読みやすい形にすることを平方完成と言います。最大値・最小値を求める問題では、どこが最大・最小になるかを考える前にまず平方完成をします。手順だけ覚えるのではなく、「何を見やすくするための変形か」を押さえておくことが大切です。
たとえば \( y = x^2 - 4x + 5 \) という式を見たとき、グラフの頂点がどこにあるかはすぐには読めません。
ところがこの式を次のように変形すると、
軸は \( x = 2 \)、頂点は \( (2,\, 1) \) と式から直接読めます。
一般に \( y = a(x-p)^2 + q \) の形にすると、
がすぐに見えます。この形を頂点形と呼びます。平方完成とは、一般形 \( ax^2 + bx + c \) を頂点形に書き直すことです。頂点形は式の内容を変えているのではなく、「同じ式をグラフが読みやすい形に言い換えたもの」です。
\( y = x^2 - 4x + 5 \) を例に、手順を確認します。
Step 1. \( a \) を括り出す（\( a \neq 1 \) のとき）
今回は \( a = 1 \) なので、この式はそのまま進みます。\( a \neq 1 \) の場合は最初に \( a \) を括り出してから同じ手順を行います（後述）。
Step 2. \( x \) の係数の半分を2乗した数を、加えて引く
\( x^2 - 4x \) の \( x \) の係数は \( -4 \) なので、半分の \( -2 \) を2乗すると \( 4 \) になります。この \( 4 \) を加えて、同時に引きます。
なぜこの操作をするかというと、\( (x-2)^2 = x^2 - 4x + 4 \) なので、\( x^2 - 4x \) に \( +4 \) を加えると完全な平方式になるからです。加えた分だけ引いて、式全体の値を変えないようにします。
Step 3. カッコ内を平方の形に整理し、定数をまとめる
軸は \( x = 2 \)、頂点は \( (2,\, 1) \) です。
\( a \neq 1 \) の場合
\( a \) が 1 でないときは、Step 1 で \( a \) を括り出してから同じ手順を行います。たとえば \( 2x^2 + 8x + 3 \) なら、
軸は \( x = -2 \)、頂点は \( (-2,\, -5) \) です。
\( y = a(x-p)^2 + q \) の形にすると、グラフ上で頂点がどこにあるかが式から直接読めます。頂点は放物線の形が変わる折り返し点で、\( x = p \) を軸として左右対称になっています。
一般形 \( ax^2 + bx + c \) では、\( b \) と \( c \) の組み合わせからすぐに軸や頂点を読むのは難しいですが、頂点形に変えると \( p \) と \( q \) がそのまま軸・頂点の座標になります。
\( a > 0 \)（下に凸）：放物線は下に開き、頂点がグラフの最低点になります。頂点での \( y \) の値が最小値です。
\( a < 0 \)（上に凸）：放物線は上に開き、頂点がグラフの最高点になります。頂点での \( y \) の値が最大値です。
最大値・最小値を求める問題で「まず平方完成をする」のは、頂点の位置を読むためです。頂点形に変えてしまえば、最大・最小になる点が式から見えます。
平方完成は以下の単元で前提知識として使います。
→ 二次関数の最大値・最小値（軸の位置で場合分けする場面で使う）
→ 二次関数の解の配置（頂点の位置から解の条件を読む場面で使う）
→ 二次関数の式の決定（頂点形）（頂点形で条件から式を立てる）