微分の逆演算として原始関数を定義し、公式で素早く計算する
微分は「関数の変化の速さ」を求める演算でした。不定積分はその逆で、「変化の速さが分かっているとき、もとの関数を復元する」演算です。
\( F’(x) = f(x) \) となる \( F(x) \) を \( f(x) \) の原始関数と呼びます。原始関数は一つではありません。\( F(x) \) が原始関数ならば \( F(x) + C \)（\( C \) は任意定数）もまた原始関数です。これは微分すると定数の微分がゼロになるためで、積分定数 \( C \) はこの「ずれ」を表しています。
不定積分の公式は微分公式の「逆読み」から得られます。\( (x^n)’ = nx^{n-1} \) を逆に読むと \( \int x^{n-1}\,dx = \frac{x^n}{n} + C \) であり、添字をずらせば \( \int x^n\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C \) になります。これが基本公式の出発点です。
\( F’(x) = f(x) \) となる原始関数の定義を確認し、\( (x^n)’ = nx^{n-1} \) を逆読みして \( \int x^n\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C \) を導きます。積分定数 \( C \) が「曲線の族」を表すことをグラフで確認します。
線形性 \( \int(af+bg)\,dx = a\int f\,dx + b\int g\,dx \) を使って多項式を積分します。\( \int(2x+1)^2\,dx \) のように積の形が現れるときは、まず展開してから公式を適用する手順を練習します。
不定積分で得られる関数の族の中から、\( f(a) = k \) という初期条件を使って \( C \) を一つに確定させます。「無数の原始関数の族から一本の曲線が選ばれる」という幾何的な意味を確認します。
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