積分定数の決定 — 初期条件で C を確定させる

不定積分は「族」を表す

不定積分 $ \int f(x)\,dx = F(x) + C $ は $ C $ の値ごとに異なる曲線を表します。これらはすべて「微分すると $ f(x) $ になる」という条件を満たしており、縦方向に平行移動した曲線の族を形成します。

たとえば $ \int (3x^2 - 2)\,dx = x^3 - 2x + C $ において、$ C = 0, 1, 2, -1 $ とするとそれぞれ

$$ y = x^3 - 2x,\quad y = x^3 - 2x + 1,\quad y = x^3 - 2x + 2,\quad y = x^3 - 2x - 1 $$

という曲線の族が得られます。この族から「特定の点を通る一本の曲線」を選び出すのが初期条件の役割です。

初期条件とは「$ x = a $ のとき $ F(a) = k $」という形の条件です。手順は次の 3 ステップです。

Step 1: 不定積分を求めて $ F(x) = (\text{式}) + C $ と置く。

Step 2: $ x = a $ を代入する。

$$ F(a) = (\text{式に } a \text{ を代入}) + C $$

Step 3: $ F(a) = k $ と等置して $ C $ を解く。

Step 1: 不定積分を求める。

$$ f(x) = \int(3x^2 - 2)\,dx = x^3 - 2x + C $$

Step 2: $ x = 1 $ を代入する。

$$ f(1) = 1^3 - 2 \cdot 1 + C = -1 + C $$

Step 3: $ f(1) = 2 $ と等置して $ C $ を解く。

$$ -1 + C = 2 \implies C = 3 $$

答え:

$$ f(x) = x^3 - 2x + 3 $$

確かめ: $ f’(x) = 3x^2 - 2 $ ✓、$ f(1) = 1 - 2 + 3 = 2 $ ✓

Step 1: 不定積分を求める。

$$ f(x) = \int(6x - 4)\,dx = 3x^2 - 4x + C $$

Step 2: $ x = 0 $ を代入する。

$$ f(0) = 3 \cdot 0^2 - 4 \cdot 0 + C = C $$

Step 3: $ f(0) = 3 $ と等置する。

$$ C = 3 $$

答え:

$$ f(x) = 3x^2 - 4x + 3 $$

確かめ: $ f’(x) = 6x - 4 $ ✓、$ f(0) = 3 $ ✓

初期条件 $ f(a) = k $ は「曲線が点 $ (a,\,k) $ を通る」という条件です。族の中の無数の曲線のうち、この特定の点を通るものはちょうど一本だけ存在します。初期条件で $ C $ が一意に定まるのは、この幾何的な事実と対応しています。

C が異なる積分曲線の族（左）/ 初期条件で1本が選ばれる（右）

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